Question

已知f(x)=x^3-kx在定义(-3,-1)内不单调，那么k的取值范围是多少

Answer 1

f(x)=x^3-kx
f'(x)=3*x^2-k
f"(x)=6x
因为原函数及其导数在定义域范围内连续，所以不用考虑间断点的啰嗦情况。
问题分情况可以简化为：
1、当定义域范围内不存在f'=0时，单调，
正的就是严格单调增函数，负的就是严格单调减函数。
把该情况否决掉。
2、当f'=0,f">0时，说明函数在此点的左边到右边，是从减函数到增函数，
函数是不是单调的，函数在该位置有极小值点。
此时二阶导数是负数的，这种情况不会出现，否决掉。
3、当f'=0,f"<0时，说明函数在此点的左边到右边，是从增函数到减函数，
函数是不是单调的，函数在该位置有极大值点。
此时：f'(x)=3*x^2-k=0
k∈(3,27)时，方程有解，及在此范围内，一阶导数有可能取到零，二阶导数是小于0的。
也就是说k在此范围内，函数存在从增函数到减函数的情况，一定不单调。
4、最后还剩下一种情况f'=0,f"=0的情况，和第3种情况一样，不会出现，否决掉。