Question

已知 如图所示 AD平行于BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4，点E在DC上，求证 AD+BC=AB。

Answer 1

证明：
方法一：
在AB上截取AM＝AD，连接ME
因为AE平分∠DAB
所以∠DAE＝∠MAE＝∠DAB/2
又因为AE＝AE
所以△DAE≌△MAE（SAS）
所以∠DEA＝∠MEA，MA＝DA
因为BE平分∠CAB
所以∠ABE＝∠CBE＝∠CAB/2
因为DA//CB
所以∠DAB＋∠CAB＝180°
所以∠ABE＋∠EAB＝90°
所以∠BEA＝90
所以∠MEA＋∠MEB＝90°，∠DEA＋CEB＝90°
所以∠MEB＝∠CEB
又因为BE＝BE
所以△BCE≌△BME（ASA）
所以MB＝CB
所以AB＝MB＋MA
即AD＋BC=AB
方法二：
延长AE与BC的延长线交于F
因为DA//CB
所以∠DAF＝∠F
因为AE平分∠CAB
所以∠DAF＝∠ABF
所以∠ABF＝∠F
所以AB＝BF
因为BE平分∠CAB
所以根据“三线合一”性质得AE＝FE
（实际上还能得到BE⊥AF，这也是方法一中证明的一个结论，但证法不同）
因为∠DEA＝∠CEF
所以△DAE≌△CFE（AAS）
所以DA＝CF
所以AB＝BF＝CB＋CF＝DA＋CB
所以AD＋BC=AB
方法三：
取AB的中N，连接EN
证明E是中点后，EN就是中位线，
所以2EN＝AD＋BC，
而△DEC是直角三角形（BE⊥AE上面已经证明）
则EN是斜边AB上的中线，所以2EN＝AB
所以AD＋BC=AB

Answer 2

这是一道很典型的初中几何问题，有必要详细解答一下
证明：
方法一：
在AB上截取AM＝AD，连接ME
因为AE平分∠DAB
所以∠DAE＝∠MAE＝∠DAB/2
又因为AE＝AE
所以△DAE≌△MAE（SAS）
所以∠DEA＝∠MEA，MA＝DA
因为BE平分∠CAB
所以∠ABE＝∠CBE＝∠CAB/2
因为DA//CB
所以∠DAB＋∠CAB＝180°
所以∠ABE＋∠EAB＝90°
所以∠BEA＝90
所以∠MEA＋∠MEB＝90°，∠DEA＋CEB＝90°
所以∠MEB＝∠CEB
又因为BE＝BE
所以△BCE≌△BME（ASA）
所以MB＝CB
所以AB＝MB＋MA
即AD＋BC=AB
方法二：
延长AE与BC的延长线交于F
因为DA//CB
所以∠DAF＝∠F
因为AE平分∠CAB
所以∠DAF＝∠ABF
所以∠ABF＝∠F
所以AB＝BF
因为BE平分∠CAB
所以根据“三线合一”性质得AE＝FE
（实际上还能得到BE⊥AF，这也是方法一中证明的一个结论，但证法不同）
因为∠DEA＝∠CEF
所以△DAE≌△CFE（AAS）
所以DA＝CF
所以AB＝BF＝CB＋CF＝DA＋CB
所以AD＋BC=AB
方法三：
取AB的中N，连接EN
证明E是中点后，EN就是中位线，
所以2EN＝AD＋BC，
而△DEC是直角三角形（BE⊥AE上面已经证明）
则EN是斜边AB上的中线，所以2EN＝AB
所以AD＋BC=AB

供参考！江苏吴云超祝你学习进步
（详细的相关问题见我的空间，今天不能发网址，郁闷）

Answer 3

在AB上截取AM＝AD，连接ME
因为AE平分∠DAB
所以∠DAE＝∠MAE＝∠DAB/2
又因为AE＝AE
所以△DAE≌△MAE（SAS）
所以∠DEA＝∠MEA，MA＝DA
因为BE平分∠CAB
所以∠ABE＝∠CBE＝∠CAB/2
因为DA//CB
所以∠DAB＋∠CAB＝180°
所以∠ABE＋∠EAB＝90°
所以∠BEA＝90
所以∠MEA＋∠MEB＝90°，∠DEA＋CEB＝90°
所以∠MEB＝∠CEB
又因为BE＝BE
所以△BCE≌△BME（ASA）
所以MB＝CB
所以AB＝MB＋MA
即AD＋BC=AB