Question

xsin1/x 在X趋近于0 的时候有极限么

Answer 1

当x→0的时候，sinx~x
所以当x→0的时候，sinx/x的极限是1，x/sinx的极限也是1，这没问题
但是当x→0的时候，sinx~x和xsin（1/x）的极限有什么关系？
是x→0的时候，sinx等价于x，不是x→0的时候，sin（1/x）等价于1/x
注意，等价无穷小，首先等价的两个都必须是无穷小，如果不是无穷小了，怎么可能等价无穷小呢？
当x→0的时候，x和sinx都是无穷小（极限是0），那么有可能成为等价无穷小，当然这两个也的确是等价无穷小。
但是当x→0的时候，1/x是无穷大，sin（1/x）是无极限，两个都不是无穷小，怎么可能是等价无穷小呢？怎么可能等价呢？
所以当x→0的时候，xsin（1/x）=sin（1/x）÷（1/x）的极限又怎么可能是1呢？
这是不少人学等价无穷小的时候，常犯是错误。
当x→0的时候，sinx~x了，那么在某些人心中，无论x趋近于啥，sinx和x都等价
x→1的时候，他们也认为sinx和x等价
x→∞的时候，他们也认为sinx和x等价
这怎么可能呢？
令t=1/x，那么当x→0的时候，t→∞
而xsin（1/x）=sint/t
当t→∞的时候，sint/t的极限当然不可能是1，当x→∞的时候，sint和t都不是无穷小，不存在等价不等价的问题。
当x→0的时候，x是无穷小，sin（1/x）的有界函数
所以xsin（1/x）是无穷小乘有界函数，还是无穷小
所以当x→0的时候，xsin（1/x）的极限是0而不是1