Question

急！高数的几道求极限和导数与微分的题目

1、设f(x)在x=0的领域内连续且lim(f(x)/根号（x+1）-1)=2，则f'(x)=( 1) 2、设f'(x0)存在，则当x趋向x0时，lim（（xf(x0)-x0f(x)/(x-x0)））=(f(x0)=x0f'(x0)) 3、f(x)=(1-cos(x))/x x≠0;0 x=0, 则f'(0)=（0.5） 4、当x→0时，f(x)=cos-e^(-x^2/2)是x的（ ）阶无穷小 需要详细的解题过程，特别是最后一道，这类题的解题方法是什么？

Answer 1

1.根号(x+1)-1在x=0临域内等效于1/2x,所以f(x)=2*1/2x,f'(x)=1
2.问题有点问题吧，重新打一遍谢谢
3.x=0临域内1-cos
x等效于1/2*x^2,所以f(x)在x=0临域内等效于1/2*x.则f'(x)=1/2;
4.需要用到泰勒定理，x->0时，cos
x=1-1/2*x^2+1/24x^4+o(x^4)[此为比x^4还小的高阶无穷小]...e^(-x^2/2)=1+(-x^2/2)+1/2*(-x^2/2)^2+o(x^4)
所以cos
x-e^(-x^2/2)=-1/12*x^4+o(x^4)即4阶无穷小