Question

已知函数f(n)=sin[(nπ)/6]，n∈Z，则f(1)+f(2)+f(3)+···+f(102)=

Answer 1

这题考察你对函数周期性的理解
一个正弦函数sinx的最小周期是2π，f(n)=sin[(nπ)/6]的最小周期就是12，(nπ)/6=2π、n=12；
f(1)+f(2)+f(3)+···+f(12)=0,
可以验证一下
f(1)=1/2,f(2)=√3/2,f(3)=1,f(4)=√3/2,f(5)=1/2,f(6)=0
f(7)=-1/2,f(8)=-√3/2,f(9)=-1,f(10)=-√3/2,f(11)=-1/2,f(12)=0
所以102/12=8余6，f(1)+···+f(96)=0,最后只剩下f(97)+f(98)+f(99)+f(100)+f(101)+f(102)
f(97)=f(96+1)=f(1),f(98)=f(96+2)=f(2),···,f(102)=f(96+6)=f(6)
最后
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=f(97)+f(98)+f(99)+f(100)+f(101)+f(102)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=2+√3.