Question

已知△ABC中,AB=1,BC=2,则∠C的取值范围是？求过程。

Answer 1

因为ab=c=1，bc=a=2，根据三角形中的三边关系，b＜a+c，b＞a-c，所以1＜b＜3

所以cosc=(a²+b²-c²)/2ab=(2²+b²-1²)/4b=(3+b²)/4b=3/4b+b/4

用基本不等式，当且仅当3/4b=b/4即b=√3时,cosc有最小值为√3/2

而且cosc=3/4b+b/4是勾函数，根据函数图象，当1＜b＜3时，√3/2≤cosc＜1

所以0＜c＜π/6

Answer 2

因为c=AB=1,a=BC=2,b=AC
根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知
1＜b＜3，根据余弦定理
cosC＝(a²＋b²－c²)／2ab
＝（4＋b²－1）／4b
＝（3＋b²）／4b
＝3／4b＋b／4
≥2√3/4b*b/4
≥√3／2
所以0

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Answer 3

ab/sinC=bc/sinA
1/sinC=2/sinA
sinC=sinA/2∈（0,1/2]
bc>ab
所以A>C
C为锐角
C∈(0°,30°]
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