Question

求方程3^x+4^x+5^x=6^x的解法

求方程3^x+4^x+5^x=6^x的解法
题中没有指明x是整数。关键是求解，不是证明。
不能用计算机。

Answer 1

f(x) = (3/6)^x + (4/6)^x + (5/6)^x - 1,
f'(x) = (3/6)^x*ln(3/6) + (4/6)^x*ln(4/6) + (5/6)^x*ln(5/6) < 0.
f(x) 单调递减。
f(1) = (3/6) + 4/6 + 5/6 - 1 = 1>0.
f(正无穷）= -1<0.
f(x)只有1个实零点。

而
f(3) = (3/6)^3 + (4/6)^3 + (5/6)^3 - 1 = [27+64+125]/6^3 - 1
= 216/216 - 1 = 0,
x = 3是f(x)的1个零点。
所以，
x = 3是f(x)的唯一零点。
x=3是方程3^x+4^x+5^x=6^x的唯一实根。

Answer 2

证明：方程有解x=3。下面分别证明x<3和>3时方程无解。
1）x<3时，设x=3-y，则y>0，方程化为
27/3^y+64/4^y+125/5^y=216/6^y
即27(1/3^y-1/6^y)+64(1/4^y-1/6^y)+216(1/5^y-1/6^y)=0
但是当y>0时，左边的每项都为正项，故无正解。

2）x>3时，设x=3+y，则y>0，方程化为
27·3^y+64·4^y+125·5^y=216/6^y
即27(3^y-6^y)+64(4^y-6^y)+216(5^y-6^y)=0
但是当y>0时，左边的每项都为负项，故无正解。

所以方程只有唯一解x=3

Answer 3

显然x=3是方程的解

令 f(x)=(3^x+4^x+5^x)/6^x
＝（3/6)^x+(4/6)^x+(5/6)^x
即f(1)=1
因 3/6、4/6、 5/6、都小于1
故（3/6)^x、(4/6)^x、(5/6)^x都是减函数
f(x)也是减函数

当x>3时，f(x)<f(3), f(x)<1
3^x+4^x+5^x<6^x
当x<3时，f(x)>f(3), f(x)>1
3^x+4^x+5^x>6^x

故只有一解x=3

Answer 4

x=3

Answer 5

用matlab解