Question

函数的连续性与一致连续性的证明区别

Answer 1

充分性：假设f在(a,b)上连续且f(a+)和f(b-)存在且有限，定义f(a)=f(a+),f(b)=f(b-)，在(a,b)内f(x)=f(x)则f(x)在【a，b】上连续，因此一致连续，显然f(x)在（a，b）上也一致连续，因此f在(a,b)上一致连续。
必要性：假设f在(a,b)上一致连续，则显然f在(a,b)上连续。
由于f在(a,b)上一致连续，因此，任取ε>0，存在δ>0。|x1-x2|<δ时，|f(x1)-f(x2)|<ε。取x1，x2∈（a，a+δ）时有，|f(x1)-f(x2)|<ε，根据极限存在法则（柯西准则）可知f(a+)存在。同理可知f(b-)存在