Question

高数问题，求解答

如图，k=1,2，...，10

Answer 1

这个问题可以利用高数中的泰勒展开，具体求解如图

Answer 2

f(x)＝x^3·(1+x)^(-1/3).
令u(x)＝x^3，v(x)＝(1+x)^(-1/3).有
u'(x)＝3x^2, u''(x)＝3·2x, u'''(x)＝3·2, u^(k)(x)＝0, k＝4, 5, 6….
v'(x)＝(-1/3)(1+x)^(-1/3-1),v''(x)＝(-1/3)(-1/3-1)(1+x)(-1/3-2),………v^(k)(x)＝(-1/3)(-1/3-1)…(-1/3-k+1)(1+x)^(-1/3-k), k＝3, 4, 5….
根据莱布尼兹公式，有
f^(k)(x)＝∑(i＝0, k)(C^i k) u^(i)(x) v^(k-i)(x).
注意到除了u'''(0)＝6之外，其余的u^(i)(0)＝0，且v^(k-3)(0)＝(-1/3)(-1/3-1)…(-1/3-k+4).有
f'(0)＝0, f''(0)＝0，
f'''(0)＝(C^3 3)·6·(-1/3)＝-2,
f^(4)(0)＝(C^3 4)·6·[(-1/3)(-1/3-1)]＝4×6×4/9＝32/3.
f^(5)(0)＝(C^3 5)·6·[(-1/3)(-1/3-1)(-1/3-2)]＝10×6×(-28/27).
f^(k)(0)＝(C^3 k)·6·[(-1/3)(-1/3-1)…(-1/3-k+3), k＝6, 7, 8, 9, 10.
注：这里C^i k表示从k个元素里选取i个元素的组合数。