Question

已知函数f（x）=2x/x的平方＋1,求定义域，值域。判断奇偶性，单调性

Answer 1

分母不等于0
x²+1≠0
x²≠-1
然不等式肯定成立
所以定义域是r
f(x)=2x/(x²+1)
上下除以x
=2/(x+1/x)
则x>0,x+1/x≥2√(x*1/x)=2
x<0,则-x>0
所以-x+1/(-x)≥2√[(-x)*1/(-x)]=2
所以x+1/x≤-2
所以x+1/x≤-2，x+1/x≥2
所以-1/2≤1/(x+1/x)<0，0<1/(x+1/x)≤1/2
所以-1≤2/(x+1/x)<0，0<2/(x+1/x)≤1
且f(0)=0
所以值域[-1,1]
f(-x)=-2x/(x²+1)=-f(x)
且定义域是r，关于原点对称
所以是奇函数
f(x)==2/(x+1/x)
分母是对勾函数
则0<x,1,x+1/x是减函数，则2/(x+1/x)是增函数
同理，x>1,2/(x+1/x)是减函数
奇函数则对称区间内单调性相同
所以
x<-1,x>1是减函数
-1<x<1是增函数

Answer 2

定义域显然为：x∈R
值域：
f(x)=2x/(x^2+1).
当x≠0时，
f(x)=2/(x+1/x)
因为：
x+1/x>=2
x>0
x+1/x<=-2
x<0
x=0,f(x)=0
所以
-1<=2/(x+1/x)<=1
f(-x)=-2x/[(-x)^2+1]=-2x/(x^2+1)=-f(x)
函数为奇函数
令x1<x2
则f(x1)-f(x2)=
2x1/(x1^2+1)-2x2/(x2^2+1)
=[2x1(x2^2+1)-2x2(x1^2+1)]/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
=[(2x1x2-2)(x2-x1)]/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
则可知，当x1,x2<-1时，
则2x1x2+2>0，而x2-x1>0
则f(x1)-f(x2)>0，函数单减
当-1<x1,x2<1时，
则2x1x2+2<0，而x2-x1>0
则f(x1)-f(x2)<0，函数单增
当x1,x2>1时，
则2x1x2+2>0，而x2-x1>0
则f(x1)-f(x2)>0，函数单减

Answer 3

分母是x2+1>0,所以定义域是全体实数
f(x)=2x/x2+1
=2/(x+
1/x)
当x>0时，由x+
1/x>=2,知，f(x)=<1
当x<0时，由x+
1/x=<-2,知，f(x)>=-1
所以值域是-1=<f(x)=<1
f(-x)=-2x/x2+1=-f(x)
所以是奇函数
当x>0时，f(x)在1到正无穷大上是减的，在0到1上是增的
当x<0时，f(x)在-1到负无穷大上是减的，在0到-1上是增的

Answer 4

分母
不等于0
x²+1≠0
x²≠-1
然不等式肯定成立
所以
定义域
是R
f(x)=2x/(x²+1)
上下除以x
=2/(x+1/x)
则x>0,x+1/x≥2√(x*1/x)=2
x<0,则-x>0
所以-x+1/(-x)≥2√[(-x)*1/(-x)]=2
所以x+1/x≤-2
所以x+1/x≤-2，x+1/x≥2
所以-1/2≤1/(x+1/x)<0，0<1/(x+1/x)≤1/2
所以-1≤2/(x+1/x)<0，0<2/(x+1/x)≤1
且f(0)=0
所以值域[-1,1]
f(-x)=-2x/(x²+1)=-f(x)
且定义域是R，关于原点对称
所以是
奇函数

f(x)==2/(x+1/x)
分母是对勾函数
则0<x,1,x+1/x是
减函数
，则2/(x+1/x)是
增函数

同理，x>1,2/(x+1/x)是减函数
奇函数则对称区间内
单调性
相同
所以
x<-1,x>1是减函数
-1<x<1是增函数