Question

已知函数f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b

若对于任意的a属于[-2,2,]，不等式f(x)小于等于1在[-1,1]上恒成立，求b的取值范围

Answer 1

y'=4x^3+3ax^2+4x=x(4x^2+3ax+4)
Δ＝9a^2-64<0
y"=12x^2+6ax+4
Δ＝36(a^2-16/3)<0
显然函数f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b(x∈R),其中a,b∈R,在（－∞，＋∞）上只有一个最值，在整个区间上是凹向上的
依据题意有
max f(x)=max{f(-1),f(1)}=max{3+b+a,3+b-a}=5+b
又因为对于任意的a∈[-2,2],不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立
所以b≤-4

Answer 2

已知函数f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b(x∈R),其中a,b∈R.
已知函数f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b(x∈R),其中a,b∈R.若对于任意的a∈[-2,2],不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立，求b的取值范围。
回答:
y'=4x^3+3ax^2+4x=x(4x^2+3ax+4)
Δ=9a^2-64<0
y"=12x^2+6ax+4
Δ=36(a^2-16/3)<0
显然函数f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b(x∈R),其中a,b∈R,在(-∞，+∞)上只有一个最值，在整个区间上是凹向上的
依据题意有
max
f(x)=max{f(-1),f(1)}=max{3+b+a,3+b-a}=5+b
又因为对于任意的a∈[-2,2],不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立
所以b≤-4

Answer 3

y'=4x^3+3ax^2+4x=x(4x^2+3ax+4)
Δ＝9a^2-64<0
y"=12x^2+6ax+4
Δ＝36(a^2-16/3)<0
显然函数f(x)=x^4+ax^3+2x^2+b(x∈R),其中a,b∈R,在（－∞，＋∞）上只有一个最值，在整个区间上是凹向上的
依据题意有
max
f(x)=max{f(-1),f(1)}=max{3+b+a,3+b-a}=5+b
又因为对于任意的a∈[-2,2],不等式f(x)≤1在[-1,1]上恒成立
所以b≤-4

Answer 4

-3/8<a<8/3