Question

设[x]表示不超过x的最大的整数

Answer 1

这个函数也叫做“取整函数”，在高数中有许多用处。
按说，不会出现在初中的题目中。
但也有这样的可能，就是让初中生了解这个函数的基本概念而设计一些使用这个函数的题目。对此，不必深究，只要知道它的作用就行了。
补充知识：
设x∈r
，
用
[x]或int(x)表示不超过x
的最大整数，并用"{x}"表示x的非负纯小数,则
y=
[x]
称为取整函数，也叫高斯函数。任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x=
[x]
+
{x}，其中{x}∈[0，+∞）称为小数部分函数。
【取整函数的性质】
性质1
对任意x∈r,均有x-1<[x]≤x<[x]+1.
性质2
对任意x∈r,函数y={x}的值域为[0,1).
性质3
取整函数(高斯函数)是一个不减函数,即对任意x1,x2∈r,若x1≤x2,则[x1]≤[x2].
性质4
若n∈z,x∈r,则有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一个以1为周期的函数.
性质5
若x,y∈r,则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.
性质6
若n∈n+,x∈r,则[nx]≥n[x].
性质7
若n∈n+,x∈r+,则在区间[1,x]内,恰好有[x/n]个整数是n的倍数.
性质8
设p为质数,n∈n+,则p在n!的质因数分解式中的幂次为
p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+….
取整函数与微积分有着紧密联系，它在科学和工程上有广泛应用。