Question

积分求旋转体的体积

Answer 1

例如考虑y=f(x)在x=a,x=b围成的区域绕x轴旋转一周的体积公式为V=∫[a,b]
πf²(x)dx
所以由y=f(x),
y=g(x)在x=a,
x=b围成的区域绕x轴一周的体积公式为V=∫[a,b]
[πf²(x)-πg²(x)d]x，假设
f(x)≥g(x)
而在计算这种体积的时候一般不能用∫[a,b]
π[f(x)-g(x)]²dx计算
拿个最简单的例子来讲
f(x)=2,g(x)=1跟x=1,x=2为成的区域绕x轴旋转一周的体积计算中,所形成的立体是个去心圆柱。
∫[1,2]
πf²(x)dx表示底面半径为2，高为1的圆柱体体积，
∫[1,2]
πg²(x)dx表示底面半径为1，高为1的圆柱体体积，
V=∫[1,2]
[πf²(x)-πg²(x)d]x表示所求的去心圆柱的体积
而∫[1,2]
π[f(x)-g(x)]²dx=∫[1,2]
π1²dx表示的是底面半径为1，高为1的圆柱体积，
此时f(x)-g(x)形成了一个新的曲线，它到x轴的距离刚好和f(x)与g(x)的距离一致！
而∫[a,b]
π[f(x)-g(x)]²dx计算的刚好是这条新的曲线绕x轴一周的旋转体体积！
显然，两种方法计算出来的旋转体是完全不一样的！