Question

大学微积分 微分方程？

紫色圈出的三道题 需要解题过程谢谢

Answer 1

求下列微分方程的通解
(1). y''=sinx+2x;
解：y'=∫(sinx+2x)dx=-cosx+x²+c₁；
y=∫(-cosx+x²+c₁)dx=-sinx+(1/3)x³+c₁x+c₂；
(2). x²y''+xy'=1;
解：令y'=p，则y''=p'；代入原式得：x²p'+xp=1............①;
先求齐次方程 x²p'+xp=0的通解。分离变量得：dp/p=-dx/x；
积分之得：lnp=-lnx+lnc=ln(c/x)；故齐次方程的通解为：p=c/x；
将c换成x的函数u，则有p=u/x.........②；p'=(xu'-u)/x²...........③；
将②③代入①式并化简得：xu'=1；故u=∫(1/x)dx=lnx+c₁;
代入②式得：p=(1/x)(c₁+lnx)；∴y'=p=(1/x)(c₁+lnx)；
故通解y=∫(1/x)(c₁+lnx)dx=c₁∫dx/x+∫[(lnx)/x]dx=c₁lnx+∫(lnx)d(lnx)=c₁lnx+(1/2)ln²x+c₂
即y=c₁lnx+(1/2)ln²x+c₂为所求。
(3). y''-y'-2y=e^(2x)；
解：齐次方程 y''-y'-2y=0的特征方程 r²-r-2=(r-2)(r+1)=0的根：r₁=2，r₂=-1；
故余函数为：y=c₁e^(2x)+c₂e^(-x)；
设其特解为：y*=axe^(2x).......①； 故y*'=ae^(2x)+2axe^(2x)=(a+2ax)e^(2x)........②；
y*''=2ae^(2x)+2(a+2ax)e^(2x)=(4a+4ax)e^(2x).........③；
-将①②③代入原式并消去e^(2x)得：(4a+4ax)-(a+2ax)-2ax=3a=1，故a=1/3；
∴特解 y*=(1/3)xe^(2x)；
故通解为：y=c₁e^(2x)+c₂e^(-x)+(1/3)xe^(2x)；

Answer 2

y''=sinx+2x

两边积分

y'=-cosx+x^2+c1

再两边积

y=-sinx+x^3/3+c1x+C2

……………………………………

x^2y''+xy'=1

xy''+y'=1/x

(xy')'=1/x

积分得：

xy'=lnx+C

y'=(lnx+C) /x

积分得：

y=∫ (lnx+C) /x dx

=∫(lnx+C) d(lnx)

=(1/2)*(lnx)^2+C1*lnx+C2

所以：

y=(1/2)*(ln|x|)^2+C1*ln|x|+C2

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