Question

基本不等式最值问题解题技巧

Answer 1

1.乘法技巧
（x+y）=（x+y）（1/x+9/y）=1+9+9x/y+y/x≥10+6=16
当9x/y=y/x，即y=3x，x+y=16，得x=4，y=12
2.2ab≤（a+b）²/2，a+b+5≤（a+b）²/2，即（a+b）²-2（a+b）-10≥0，还有a+b＞0
得a+b≥1+√11
3.同除以xy，得2/y+8/x=1，转化到问题（1）
（x+y）=（x+y）（2/y+8/x）=2+8+2x/y+8y/x≥10+8=18
2x/y=8y/x，即x=2y，x+y=18，得x=12，y=6
4。3x/（x²+4）=3/[x+（4/x）]，x+（4/x）≥4，于是3x/（x^2+4）≤3/4
5.a²+b²=（a+b）²-2ab，a²+b²=c²，于是2ab=（a+b）²-c²，而类似问题（2）
2ab≤（a+b）²/2
所以（a+b）²-c²≤（a+b）²/2
得2c²≥（a+b）²
即（√2）c≥a+b
【这些思路和技巧非常重要】

Answer 2

(1)x(1-3x)=(1/3)3x(1-3x)<=(1/3)[(3x+1-3x)/2]^2=1/12,当且仅当3x=1-3x时取到最大值，此时x=1/6

(2)y=(x+5)(x+2)/(x+1)
=5+(x+1)+1/(x+1)>=5+2qur(x+1)/(x+1)=7取等是(x+1)^2=1,--->x=0,[x=-2（舍）]

(3)a^2+(b^2)/2=1---->b^2=2-2a^2---->a^2(1+b^2)=a^2(3-2a^2)<=(1/2)[(2a^2+3-2a^2)/2]^2=9/8--->根号下a^2(1+b^2)的最大值为根号下9/8