Question

求函数u=x+y+z在条件1/x+1/y+1/z=1,x>0,y>0,z>0下的极值

Answer 1

如果是大学阶段的问题，用拉格朗日求极值法，设参数k，辅助函数L：
L=x+y+z+k(1/x+1/y+1/z-1)
L对x的偏导数=1-k/x^2=0；
L对y的偏导数=1-k/y^2=0；
L对z的偏导数=1-k/z^2=0；
1/x+1/y+1/z=1；
解此方程组得到：x=y=z=3；
所以当x=y=z=3时u达到极值u=3+3+3=9。

Answer 2

连用两次均值不等式
(1/x+1/y+1/z)/3>=三次根号(1/(xyz))
得xyz>=3
(x+y+z)/3>=三次根号下（xyz）>=3
得u=x+y+z>=9（等号成立当且仅当x=y=z=3)
所以极小值为9，极大值当然不存在了

Answer 3

解:
利用拉格朗日数乘法
构造拉格朗日函数
f(x,y,z,λ)=x+y+z+λ(1/x
+
1/y
+
1/z-1)
将f对x,y,z,λ分别求偏导数,并令它们都等于0，得方程组
əf/əx=1-λ/(x郸担策杆匕访察诗畅涧^2)=0
(1)
əf/əy=1-λ/(y^2)=0
(2)
əf/əz=1-λ/(z^2)=0
(3)
əf/əλ=1/x
+
1/y
+
1/z-1=0
(4)
由(1)-(3)可得
λ/(x^2)=1,
λ/(y^2)=1,
λ/(z^2)=1
因此
x^2=y^2=z^2=λ
又因为x>0,y>0,z>0
所以
x=y=z
(5)
将(5)带入(4)得
3/x=1
故x=3,
于是x=y=z=3
故极小值为u(3,3,3)=3+3+3=9

Answer 4

属于条件极值
使用拉格朗日最小二乘法
构造函数：
F(x,y,z)=x+y+z+λ(1/x+1/y+1/z-1)
分别为x,y,z求导
Fx'(x,y,z)=1-λ/x^2
Fy'(x,y,z)=1-λ/y^2
Fz'(x,y,z)=1-λ/y^2
并令之为0
则x^2=y^2=z^2=λ
而x>0,y>0,z>0
1/x+1/y+1/z=1
则x=y=z=3
则
x+y+z=9