Question

判断下列无穷积分的敛散性,若收敛,则求其值 ∫0 +∞ dx/ [(x+1)√(x^2+1)]

Answer 1

当x趋于无穷时，被积函数等价于1/x^2，因此积分收敛。
做变量替换x=tant，dx=sec^2tdt，x=0对应t=0，x趋于无穷对应t趋于pi/2，
因此原积分=
积分(从0到pi/2)sec^2tdt/[(1+tant)*sect]
=积分(从0到pi/2)dt/(sint+cost)
=1/根号(2)
*ln(sin(x+pi/4)/(1+cos(x+pi/4)))|上限pi/2下限0
=1/根号(2)*ln[(2+根号(2))/(2-根号(2))]
=1/根号(2)*ln(3+2根号(2))
=根号(2)*ln(根号(2)+1)