Question

平方和公式有哪些变形

Answer 1

平方和公式n(n+1)(2n+1)/6
　　即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
(注：n^2=n的平方)
　　证明1＋4＋9＋…＋n^2＝n(n+1)(2n+1)/6
　　证法一（归纳猜想法）：
　　1、n＝1时，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1
　　2、n＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5
　　3、设n＝x时，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6
　　则当n＝x＋1时，
　　1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2
　　＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6
　　＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6
　　＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
　　＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6
　　也满足公式
　　4、综上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。
　　证法二（利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）：
　　(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
　　n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
　　..............................
　　3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
　　2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
　　把这n个等式两端分别相加，得：
　　(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
　　由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
　　代人上式得：
　　n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
　　整理后得：
　　1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
　　a^2+b^2=a(a+b)-b(a-b)