Question

利用二重积分定义求解二重积分的问题

Answer 1

二重积分的定义
设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数：
(1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）；
(2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积；
(3)把所有这些乘积相加,即作出和数
(4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作:
即：=
其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域.

Answer 2

利用对称性。
积分区域是关于坐标轴对称的。
被积函数也时关于坐标轴对称的。
在对称区域内，奇函数的积分为0.
常数的积分
=
常数倍的积分区域的面积。
就利用这些吧。。。
∫∫（1+X立方Siny）dxdy
=
∫∫dxdy
+
∫∫（X立方Siny）dxdy
【前面1项的积分=面积，后面1项的积分=
0】
=
∫∫dxdy
【积分区域的面积
=
矩形的面积
-
圆的面积】
=
3*2
-
PI
=
6
-
PI