Question

数学动脑筋一题

Answer 1

想了一天，不知道对不对，以下是我的答案：
设满足要求的最少把数的锁为n把，并记这n把锁的集合是A，Ai（i是下标）是第i个成员可以打开的锁的集合。对于{1，2，...，11}的任何5元子集{i1(数字是下标)，i2，...，i5}，有
Ai1（i是A的下标，1是i的下标，依此类推）并Ai2并Ai3并Ai4并Ai5不等于A；
同理对于{1，2，...，11}的任何6元子集{j1，j2，...，j6}
Aj1并Aj2并Aj3并Aj4并Aj5并Aj6=A
设x(i1…i5)是锁的编号为i1，i2...，i5的那5个成员打不开的一把锁，而对于任何j不属于{i1，i2，...，i5}，x(i1…i5)一定属于Aj
综上所述，可以得到{1，2，...，11}的5元子集与锁之间的关系应该是一个单射关系（证明从略，因为我还没有得到一个十分严谨的证法，不好写上来）。
因为{1，2，...，11}的不同5元子集有C（5，11）=462个（就是11个中取5个的组合数），所以锁的数量至少是462把。
换句话说，给宝箱加上462把锁（现实生活中应该不会有人这么干的），并将这些锁与集合{1，2，...，11}的462个5元子集一一对应，将每把锁的6枚钥匙分发给这把锁所对应的5人组之外的6个成员保管使用，则任何5个成员都有一把锁打不开，而任何6个成员都能打开全部锁。符合要求。
所以，至少有462把锁。