Question

线代中行列相等A的伴随矩阵和A的转置相等

Answer 1

条件应该有A
≠
0吧.
n
=
2时,
设A
=
a
b
c
d
则伴随矩阵A*
=
d
-b
-c
a
由转置A‘
=
A*得a
=
d,
b
=
-c.
当讨论限制为实矩阵,
行列式|A|
=
a²+b²
>
0,
A可逆.
复矩阵时有反例:
1
i
-i
1
n
>
2时,
无论在哪个域上,
命题总是成立的,
证明如下.
若A的秩r(A)
<
n-1,
伴随矩阵A*是由A的n-1阶子式构造,
有A*
=
0,
与A
≠
0从而转置矩阵A'
≠
0矛盾.
若r(A)
=
n-1,
由AA*
=
|A|·E
=
0,
及不等式r(A)+r(A*)-n
≤
r(AA*),
有r(A*)
≤
1
<
r(A)
=
r(A').
于是r(A)
<
n时总有A*
≠
A'.
即由A*
=
A'可推出A可逆.

Answer 2

因为(a,b)经过有限次初等列变换可以变为(b,a)，即(a,b)~(b,a)，故r(a,b)=r(b,a)
注：详细证明可以参考线性代数同济大学第五版第67页