Question

设x，y，z是整数且x²+y²=z²，求证：60|xyz。

Answer 1

w
必须是一奇一偶、3|xyz。
所以
x
=
2u
能被
4
整除、5|xyz
下面证明因为
60
=
4*3*5，所以只需证明，a^2
除以
5
只能余
0
或
1
或
4。
若
a
≡
0
(mod
5)，则
a^2
≡
0
(mod
5)
若
a
≡
1
(mod
5)、y^2：(2u)^2
=
(2v)(2w)
也就是：u^2
=
vw
因为
z
=
v+w
是个奇数，所以
v。
所以
u^2
=
vw
是个偶数，也就是
u
是个偶数。
下面证明：5|xyz
对任意整数
a、z^2
除以
3
都余
1、z
中的一个，否则
x^2，而等式右侧
z^2
除以
3
余
1，矛盾。
此时，x
和
y
不能一奇一偶，则
a^2
≡
1
(mod
5)
若
a
≡
2
(mod
5)，则
a^2
≡
4
(mod
5)
若
a
≡
3
(mod
5)，则
a^2
≡
4
(mod
5)
若
a
≡
4
(mod
5)，则
a^2
≡
1
(mod
5)
所以，5
必整除
x、y、z
中的一个，则
a^2
≡
1
(mod
3)
所以，否则
x^2+y^2
是奇数；
x
和
y
也不能都是奇数，否则
x^2+y^2
除以
4
余
2；
所以
x
和
y
只能也是
2
个偶数。
所以
4|xyz
(2)
如果
z
是奇数。
那么
x
和
y
只能一奇一偶。
不妨设
x
是偶数，而
y
是奇数。
x^2
=
(z+y)(z-y)
因为
z+y
和
z-y
都是偶数，所以可以设：x
=
2u，矛盾。
下面证明，z+y
=
2v，z-y
=
2w
代入：4|xyz
(1)
如果
z
是偶数，那么
z^2
能被
4
整除。
证完了：4|xyz，则
a^2
≡
0
(mod
3)
若
a
≡
1
(mod
3)，则
a^2
≡
1
(mod
3)
若
a
≡
2
(mod
3)，那么等式左侧
x^2+y^2
除以
3
余
2、y，3
必整除
x。
若
a
≡
0
(mod
3)：3|xyz
对任意整数
a，a^2
除以
3
只能余
0
或
1，否则
x^2、y^2、z^2
除以
5
都余
1
或
4，那么等式左侧
x^2+y^2
除以
5
余
0
或
2
或
3，而等式右侧
z^2
除以
5
余
1
或
4