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图为信息科技（深圳）有限公司
2021-01-25 广告
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因为∂(x-y)/∂x - ∂(x+y)/∂y = 0，所以积分与路径无关。取路径(a,0) -> (0,0) -> (0,a):
原积分 = ∫[a,0] xdx + ∫[0,a] -ydy = -a^2
原积分 = ∫[a,0] xdx + ∫[0,a] -ydy = -a^2
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是圆在第一象限的部分，用极坐标系：
x=acosθ，y=asinθ
dx=-asinθdθ，dy=acosθdθ
θ=0~π/2
积分=
∫（0，π/2）[(acosθ+asinθ)(-asinθdθ)+(acosθ-asinθ)acosθdθ]
=a²∫（0，π/2）[(cosθ+sinθ)(-sinθ)+(cosθ-sinθ)cosθ]dθ
=a²∫（0，π/2）[(-sinθcosθ-sin²θ)+(cos²θ-sinθcosθ)]dθ
=a²∫（0，π/2）[cos2θ-sin2θ]dθ
=（a²/2）[sin2θ+cos2θ]（0，π/2）
=（a²/2）(-1-1)
=-a²
x=acosθ，y=asinθ
dx=-asinθdθ，dy=acosθdθ
θ=0~π/2
积分=
∫（0，π/2）[(acosθ+asinθ)(-asinθdθ)+(acosθ-asinθ)acosθdθ]
=a²∫（0，π/2）[(cosθ+sinθ)(-sinθ)+(cosθ-sinθ)cosθ]dθ
=a²∫（0，π/2）[(-sinθcosθ-sin²θ)+(cos²θ-sinθcosθ)]dθ
=a²∫（0，π/2）[cos2θ-sin2θ]dθ
=（a²/2）[sin2θ+cos2θ]（0，π/2）
=（a²/2）(-1-1)
=-a²
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