Question

将函数f(x)=ln x展开为x-2的幕级数,并指出其收敛半径. 求解题过程

Answer 1

根据:f(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+.....
得:
f(x)=lnx=ln(x-2+2)=ln2+ln[1+(x-2)/2]=ln2+(x-2)/2+(x-2)^2/(2^2*2)+(x-2)^3/[2^3*3]-.....
其收敛半径
-1<(x-2)/2<=1,
即:
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Answer 2

ln(x^2+3x+2)=ln(1+x)(2+x)=ln(1+x)+ln2(1+x/2)=ln(1+x)+ln(1+x/2)+ln2
其中ln(1+x)的收敛半径为1,ln(1+x/2)的收敛半径为2,故整个函数的收敛半径为1（在此区间内,ln(1+x)与ln(1+x/2)均收敛）.
注：ln(1+x)的收敛半径就是|x| =1.因此ln(1+x/2)的收敛半径就是)|x/2| =1,即|x|=2.