Question

请问这道重积分的题怎么做啊？

答案是 5πa³/2

Answer 1

分享一种解法。令y=y(x)。原式=∫(0,2πa)dx∫(0,y)ydy=(1/2)∫(0,2πa)y²(x)dx。
由题设条件，y(x)=a(1-cost)，dx=a(1-cost)dt。∴原式=(a³/2)∫(0,2π)(1-cost)³dt。
又，(1-cost)³=1-3cost+3cos²t-cos³t=5/2-3cost+(3/2)cos2t-(1-sin²t)cost。代入、积分，
∴原式=5a³π/2。
供参考。

追问

请问 0到2πa 和 0到y 的区间是怎么得出来的啊

追答

由t的取值范围，代入x的表达式，确认x的取值范围。又，设了y(x)。故，按题设条件(t=0)确认x、y的起点均为0，且y因x变化而变化，∴y的范围为[0,y(x)]，【y(x)简写为y】。

追问

好的 我明白了 谢谢您！

追答

不客气，有问题再交流。

Answer 2

你的解法是错误的。
x的积分限是不正确。
如你最开始的式子所述，x的积分限为[0,√(R^2-y^2)
而不是后面直接到（0，R）了。
建议：如果是用极坐标，你需要换成完整的极坐标形式。
也就是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ，rsinθ）*rdrdθ。