Question

求极限lim(x→∞){ [（x+2）(x-1)]^1/2}-x; lim（x→1） [1/（1-x）]-[3/(1-x^3)]

Answer 1

{
[（x+2）(x-1)]^1/2}-x
={{
[（x+2）(x-1)]^1/2}^2-x^2}/{{
[（x+2）(x-1)]^1/2}+x}
=(x^2+x-2-x^2)/{{
[（x+2）(x-1)]^1/2}+x}
=(x-2)/[(x^2+x-2)^1/2+x]
lim(x→∞)(x-2)/[(x^2+x-2)^1/2+x]=1/(1+1)=1/2
注意,这里用到:x---无穷时:
lim(a1x^n+a2x^(n-1)+.......+an)/(b1x^n+.....bn)=a1/b1
lim（x→1）
[1/（1-x）]-[3/(1-x^3)]
=1/(1-x)-3/(1-x)/(1+x^2+x)
=1/(1-x)*[1-3/(1+x^2+x)]
=1/(1-x)*[x^2+x-2]/(1+x^2+x)
=(x^2+x-2)/[(1-x)(1+x^2+x)]
=(x+2)(x-1)/[(1-x)(1+x^2+x)]
原式=lim(x---1)-
(x+2)/(1+x^2+x)=-(1+2)/(1+1+1)=-1