Question

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在...

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆C上，AF1•F1F2=0，cos∠F1AF2=35，|F1F2|=2，过点F2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点． （I）求椭圆C的方程； （II）线段OF2上是否存在点M（m，0），使得QP•MP=PQ•MQ，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意∠AF1F2=90°，cos∠F1AF2=35，
又|F1F2|=2，
所以|AF1|=32，|AF2|=52，2a=|AF1|+|AF2|=4，
所以a=2，c=1，b2=a2-c2=3，即所求椭圆方程为x24+y23=1．
（Ⅱ）存在这样的点M符合题意．
设线段PQ的中点为N，P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），直线PQ的斜率为k（k≠0），
又F2（1，0），则直线PQ的方程为y=k（x-1），
由x24+y23=1y=k(x-1)消y得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，
由韦达定理得x1+x2=8k24k2+3，故x0=x1+x22=4k24k2+3，
又点N在直线PQ上，所以N(4k24k2+3，-3k4k2+3)．
由QP•MP=PQ•MQ，可得PQ•(MQ+MP)=2PQ•MN=0，即PQ⊥MN，
所以kMN=0+3k4k2+3m-4k24k2+3=-1k，整理得m=k24k2+3=14+3k2∈(0，14)，
所以在线段OF2上存在点M（m，0）符合题意，其中m∈(0，14)．