Question

几道高二数学题目，急用！谢谢了

1、求函数y=(1/x)+(1/1-x)(0＜x＜1)的最小值？ 2、已知圆C:x^2+y^2-6x-8y+21=0和直线l:kx-y-4k+3=0 求证：（1）直线l与圆C一定有两个不同的交点 （2）K为何值时，直线l被圆C截得的弦最短 3、直线y=k(x-4)与抛物线y^2=2px交于A、B两点，以AB为直径的圆经过原点O；（1）求P的值 （2）F是抛物线的焦点，动点M满足→ → → MF=FA+FB，求M的轨迹方程 4、f(x)=x^3+ax^2+bx+1-b，当x=1时，f(x)有极小值1 (1)求f(x)的解析式 （2）求f(x)的单调减区间及极大值 5、直线y=kx-1与双曲线x^2-y^2=1交于A、B两点 （1）求K的取值范围 （2）若A、B分别是双曲线左右两支上的点，O是坐标原点，三角形AOB的面积为根号2，求K的值 拜托各位高手一定要给出尽量详细的解答过程啊！！！！不胜感激

Answer 1

第一题设x=(sinx)^2，代入求解，
得到f(x)=(1/sin^2x)+(1/1-sin^2x)=1/sin^2x+1/cos^2x
<=[(1/sinx+1/cosx)/2]^2
当且仅当sinx=cosx时等号成立，即sinx=1/根号2，即sin^2x=0.5时等号成立，即原来的x＝0.5时等号成立，所以解得最小值是1。
第二题
(1)圆C:x^2+y^2-6x-8y+21=0
即为（x-3）^2+(y-4)^2=4
直线l:kx-y-4k+3=0
即为y=k(x-4)+3
因此圆C是以点（3，4）为圆心，半径为2的圆
而直线c表示的是除了x=2外所有经过定点(4,3)的直线
因为（4，3）在圆内，所以必然有两个交点。
(2)根据弦越长，弦心距越短的原则（初一学圆的时候书本上面的定理）
所以该直线过点（4，3）且与通过点（4，3）和（3，4）的直线垂直，因此显然k＝1
最后得出直线方程是x-y-1=0。
第三题
（1）如果设点A的坐标(x1,y1)点B的坐标（x2,y2），因为“以AB为直径的圆经过原点O”，说明：
→
→
OA·OB=0（直径所对的圆周角是直角）
即x1x2+y1y2=0
直线方程与抛物线方程联立，保证代而塔>0的情况下，用韦达定理求解P，最后算得P＝2
(2)设点A的坐标(x1,y1)点B的坐标（x2,y2），设点M的坐标是（x,y）因为
→
→
→
MF=FA+FB
所以得到
x-1=x1-1+x2-1
x=x1+x2-1
y=y1+y2
根据韦达定理，求出x=(7k^2+4)/k^2
y=4/k
即k=4/y
代入上式
求得y^2=4(x-7)
不好意思第四题做不来。。。我米有学过。。
不过我猜测a=-1,b=0要么你证明一下，不过应该是这样没错。
第五题
（1）直线与双曲线联立，使得二次项前面的系数不为0，并且代而塔>0即可，解得k属于(-根号2,-1)U(-1,1))U(1,根号2)
(2)分别用弦长公式和点到直线的距离公式求得三角形的底和高，然后代入求解。
根据弦长公式，得到[2*根号（2-k^2）*根号(1+k^2)]/|1-k^2|
原点到直线l的距离是1/根号（k^2+1）
所以面积是1/2*[2*根号（2-k^2）*根号(1+k^2)]/|1-k^2|*1/根号（k^2+1）＝根号2
求得k^2=0或者k^2=1.5
不过不要忘记，直线与双曲线相交于左右两支，
因此分别代入检验，发现：
当k^2=1.5时联立所得的一元二次方程中x1+x2>0,x1*x2>0，由于直线必过定点(0,-1)，根据图象来判断，说明两个交点必定在同支上，显然不符合条件，舍去。
而当k=0的时候显然满足条件。
因此综上所述，k=0