Question

已知函数设是的极值点,求,并讨论的单调性;()当时,证明.

已知函数 设是的极值点,求,并讨论的单调性; ()当时,证明.

Answer 1

()求出原函数的导函数,因为是函数的极值点,由极值点处的导数等于求出的值,代入函数解析式后再由导函数大于和小于求出原函数的单调区间;()证明当时,,转化为证明当时.求出当时函数的导函数,可知导函数在上为增函数,并进一步得到导函数在上有唯一零点,则当时函数取得最小值,借助于是导函数的零点证出,从而结论得证.
()解:,是的极值点,,解得.所以函数,其定义域为..设,则,所以在上为增函数,又,所以当时,,即;当时,,.所以在上为减函数;在上为增函数;()证明:当,时,,故只需证明当时.当时,函数在上为增函数,且,.故在上有唯一实数根,且.当时,,当时,,从而当时,取得最小值.由,得,.故.综上,当时,.
本题考查了利用导数研究函数的单调性,利用导数求函数在闭区间上的最值,考查了不等式的证明,考查了函数与方程思想,分类讨论的数学思想,综合考查了学生分析问题和解决问题的能力.熟练函数与导数的基础知识是解决该题的关键,是难题.