Question

解析几何的意义

Answer 1

解析几何的意义
　　首先，解析几何的意义表现在它所提供的数形结合思想上。在这一思想的指引下，一个几何对象被数（坐标）所完全刻画，几何概念可以表示为代数的形式，几何目标可以通过代数方法来达到；反过来，它使代数语言得到了几何解释，从而代数语言有了直观意义，人们能从中得到启发而提出新的结论。“只要代数与几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是当这两门科学结成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。”总之，解析几何的思想使得代数与几何水乳交融、相辅相成、相得益彰，它不但促进了两者的大幅度进展，而且也使微积分的展现变得水到渠成。“十七世纪以来数学的巨大发展，在很大程度上应归功于坐标几何。”
　　特别值得指出的是，这种思想所反映出的事物辩证统一、相互转化的观点，具有方法论的意义，不仅对于数学的研究，而且对于处理其他问题也有非常重要的意义。
　　其次，解析几何为科学提供了迫切需要的工具。Descartes曾说：“……我决心放弃那个仅仅是抽象的几何。这就是说，不再去考虑那些仅仅是用来练习思想的问题。我这样做，是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然现象的几何。” 事实上，在Descartes所处的17世纪，天文学、力学等有一系列的新发现。开普勒发现行星绕太阳的运动轨道是椭圆；伽利略发现抛出去的物体是沿着抛物线的轨道运动的。过去，对于椭圆、抛物线等，因为没有实用的需要，因此作为圆锥与平面的截线，只要在几何上得到研究就足够了。但现在，因为航海、军事的需要，对它们进行计算成了必需。这样，科学对数量工具的需求变得非常迫切了。解析几何使人能把形象和路线表示为代数的形式，从而导出数量工具，正好满足了这种迫切的需求。
　　第三，为数学提供了统一处理问题的工具。Descartes的本意是通过解析几何来给几何引进新方法，但解析几何的成就远远超过他的预期。代数系统地用于几何研究，不但能迅速地证明关于曲线的任何事实，而且这种解决问题的方式基本上是程序化的。因为Descartes和Fermat都不用负坐标，因此他们也许根本没有预料到，当字母可以代表任意数（正数、负数甚至是复数）时，就可以用代数来统一处理综合几何中那些必须分别处理的情形。例如，平面几何证明三角形的三条高交于一点，要分交点在三角形内还是在三角形外，而在坐标几何中可以不加区分。有些几何曲线的性质，如果用综合几何的方法是很难证明的，但如果用坐标法却非常简单。例如，二次曲线平行弦的中点的轨迹是直线段；二次曲线的光学性质；等。有些几何问题，例如三等分任意角、化圆为方、倍立方体等所谓的三大尺规作图难题，用代数可以漂亮地、迅速地决定它们能还是不能，而离开代数，决定就成为不可能了。而有些几何曲线，例如旋轮线、对数曲线、对数螺线……，如果不用解析几何的方法，那么我们将根本无法知道该如何去研究它们的性质。解析几何有一套发现数学定理的统一、有用且好用的方法。坐标法使人们能够认识典型的几何问题并能把在几何形式上互不相关的问题归在一起。代数给几何带来最自然的分类原则和最自然的方法层次。
　　第四，解析几何的发明，完成了数学发展史上的一次划时代的变革，正如恩格斯指出的：“数学中的转折点是笛卡尔变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了……。”人们曾这样评价笛卡尔：极少有人能刷新人类思想的一个完整的方面，笛卡儿就是那极少数人中的一个。这个贡献属于最杰出之列，在有史以来对数学作出的最杰出贡献中，它以其感人的简单而引人注目。笛卡尔再造了几何，并使现代几何成为可能。就像数学中所有真正伟大的东西一样，解析几何的基本概念简单到了近乎一目了然的程度。阿达玛也说：坐标法的应用不仅把几何上已经定义了的曲线转变成方程，而且从完全相反的角度看，给越来越复杂的曲线预先下了定义，因此越来越一般……数学研究对象的全部概念，发生了彻底变革，直接促成这一变革的是笛卡尔，他确实知道自己的发明的重要性，因为他说他到目前为止已经超过了在它以前的全部几何学。

Answer 2

能够将几何问题转换为代数问题，这个游戏挺好玩的哦，可以去试试。这个应该是可以看到的，自己去看一下吧。