Question

已知三棱锥P-ABC中,PA垂直于平面ABC,AB垂直于AC,PA=AC=1/2...

已知三棱锥P-ABC中,PA垂直于平面ABC,AB垂直于AC,PA=AC=1/2AB,N为AB上一点,AB=4AN,M、D、S、分别为PB、AB、BC、的中点. （1）求证：PA平行于平面CDM （2）求证：SN垂直于平面CDM

Answer 1

(1)连接DM,知DM//PA
(中位线定理)故PA平行于平面CDM.(
一直线,平行于平面上的一条直线,它就平行于这个平面)(2)设PA=AC=a,则AB=2a连接SD,且设SN与CD的交点为E.由中位线定理知:SD//AC
且等于(1/2)a.,而ND=(1/2)a即SD=ND.又角NDS为直角,故三角形NDS为等腰直角三角形,又三角形CAD也是等腰直角三角形.由此,角ADC=45度,从而推出角CDS=45度.即DE为等腰直角三角形顶角SDN的平分线.故DE垂直于SN
(a)又知PA垂直于平面ABC,故MD//PA,故MD垂直于平面ABC,即推出MD垂直于SN
(b)由(a)(b)知SN垂直DE,和MD,即知SN垂直于平面CDM.(垂直于平面上的两相交直线,就垂直于这个平面)