Question

正态分布的数学期望

已知X~N(0,1),求X的四次方的期望值是多少

Answer 1

E(x^4)
=∫x^4*1/√(2π)e^（-x^2/2）dx 积分区间（-∞，+∞）
=2∫x^4*1/√(2π)e^（-x^2/2）dx 积分区间（0，+∞）
分步积分。
=-2x^3*1/√(2π)e^（-x^2/2）+2/√(2π)∫3x^2*e^（-x^2/2）dx
=-2x^3*1/√(2π)e^（-x^2/2）-2/√(2π)3x*e^（-x^2/2）
+2/√(2π)∫3*e^（-x^2/2）dx

积分区间（0，+∞）
1/√(2π)∫e^（-x^2/2）dx=1/2
2/√(2π)∫3*e^（-x^2/2）dx=3*2*1/2=3
而2x^3*1/√(2π)e^（-x^2/2）-2/√(2π)3x*e^（-x^2/2）
=2x^3/√(2π)e^（x^2/2）-6x/√(2π)*e^（x^2/2）
利用罗必塔法则，
lim2x^3/√(2π)e^（x^2/2）-6x/√(2π)*e^（x^2/2）=0
所以E(x^4)=3

Answer 2

当n是奇数时，EX^n=0;
当n是偶数时，EX^n=&^n(n-1)!!
[&是标准差，（n-1)!!=(n-1)*(n-3)*(n-5)*……*3*1]

Answer 3

不知道哇！不蛮足线性！
直觉告诉我是0