无理数是无限长，为什么能用有限长度来表达呢？
我们都知道无理数是“无限不循环小数”，这里有两个关键：1无限，2不循环。所谓无限其实是指这个小数位数是无限个，比如0.1298735938......后面无限个小数位。所谓不循环其实是指后面无限个小数位不会出现重复同一个数字的情况，比如0.333333.....虽然也是无限个小数位，但是却一直重复3，所以这个也不叫无理数。而真正的无理数大家都接触过，比如圆周率π。但是有个非常奇怪的现象，那就是无理数虽然是无限位，但是却可以用有限的长度来表达，这是怎么回事呢？
首先我们如何去用有限的长度来表达无理数，很简单比如我们要表达根号2，那么只需要画出一个边长为1的正方形，然后把对角线连接起来，对角线的长度就是根号2，我们用对角线这个有限长度就完美的表达出了根号2这个无理数。
所以问题的关键在于为啥一个无限位的数，可以用一个有限长度的线段来表示？这是不是矛盾了？其实你仔细思考这个问题就会发现并不矛盾。因为我们说无理数有无限个小数位，请注意这里的无限指小数位的个数是无数个。但是我们可以用一个有限长度的线段来表示无理数，这里的有限指的是线段的长度。所以核心点在于，第一句话的无限是指小数位个数，第二句话的有限指线段长度，这两句话描述的对象压根是两个不同的事物。也就是说除非你能把“小数位个数”等同于“线段长度”，否则你不能说这两句话矛盾了。
其实关于无理数是否是数，历史上有段时间争议非常大，因为无理数本身具有一个特性“无限不循环”，无限这个特性还好不难理解，但是“不循环”这个特性就不方便理解了，因为你怎么知道他不循环呢？有人可能会说我用最紧密的计算机计算了圆周率后面1000位，发现的确没循环。但是请注意无理数是无限个，你就算证明了1000位没循环，你能证明后面就一定不会出现循环。所以当时无理数到底是否是一个数存在巨大争议。
不过结束这个争议也很简单，我们判断一个数到底是不是数，有一个最方便的标准：看这个数能否在数轴上表示出来。因为我们知道数轴上面包含了所有的数，所以我们只要证明无理数的确可以在数轴上表示出来就够了，或者换一种说法：我们只需把无理数可视化即可。
如何可视化呢？其实刚刚已经揭晓答案了，直接把一个边长为1的正方向，将其对角线连接起来，对角线长度就是根号2，那么我们从数轴的0点开始把这个长度放到数轴上，根号2这个无理数不就被表达出来了。所以无理数可视化恰好证明无理数的确是一个数。
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2024-04-02 广告
