Question

无理数集是不可数集的证明

Answer 1

书上不是有个经典证明吗 假设可数，0.a11 a12 a13 a14.0.a21 a22 a23 a24.0.an1 an2 an3 an4.作0.ax1 ax2 ax3.ax1不等于a11,ax2不等于a22,ax3不等于a33。则0.ax1 ax2 ax3。

如果无理数可数，则无理数能用正整数编号。

1 0.4386724425……

2 0.8883080445……

3 0.1444277851……

4 0.7455842268……

5 0.4475868651……

但是我们能找到一个无理数，十分位与1的不同，百分位与2的不同，千分位与3的不同，于是这个无理数与上面列出来的全不相等，以上数列不可能包含所有的无理数。矛盾。因此无理数是不可数的。

楼上的他把无理数的稠密性来说成了无理数的不可数，但这样完全也可以说明有理数是不可数的，可是有理数却是可数的。

Answer 2

书上不是有个经典证明吗
假设可数，
0.a11
a12
a13
a14...
0.a21
a22
a23
a24...
...
0.an1
an2
an3
an4...
作0.ax1
ax2
ax3...，ax1不等于a11，ax2不等于a22，ax3不等于a33。。。
则0.ax1
ax2
ax3。。。不可数，即(0,1)间实数不可数
又
实数=有理数+无理数
可知无理数不可数