三角函数给定区间求最值

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toongci
2020-10-24 · TA获得超过1193个赞
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y=Asin(ωx+φ)在区间[a,b]上的最值
x∈[a,b]
则ωx+φ∈[ωa+φ,ωb+φ]
根据sinx的图像,即可得出最值

所给函数有多个三角函数形式的,看能否合并或能否化成同一三角函数的形式。
比如y=sinx+∨3cosx 在[0,π/4]的最值
y=sinx+∨3cosx=2sin(x+π/3)
x∈[0,π/4],x+π/3∈[π/3,7π/12]
x=0时,y取最小值,x=π/6时,y取最大值

又比如f(x)=sinx+cos2x+5在[0,π/4]的最值
f(x)=sinx+cos2x+5
=sinx–2sin²x+6
=–2(sinx–1/4)²+49/8
x∈[0,π/4],则sinx∈[0,∨2/2]
当sinx=∨2/2时,f(x)min=5+∨2/2
当sinx=1/4时,f(x)max=49/8

通过数形结合求最值
比如f(x)=(sinx–5)/(cosx–3)在[0,2π]上的最值
可以看成点A(cosx,sinx)与点B(3,5)所在直线的斜率
A点在m²+n²=1的圆上
斜率最大和最小时候刚好在直线与圆相切时候取到
设此时直线斜率为k,那么直线为y–5=k(x–3)
圆心到直线距离d=|3k–5|/∨(1+k²)=1
4k²–15k+12=0可以求出k1,k2 (k1<k2)
就可以得出f(x)∈[k1,k2]

求最值通用方法就是对函数进行求导,判断函数在区间的单调性,进而求最值。
铭修冉
2020-10-24 · TA获得超过6308个赞
知道大有可为答主
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看具体函数的正常定义域、值域,两者之间关系,
截取一段看看
多练习,就能做题
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