Question

求微分方程（1-x^2）y' xy=x满足初始条件y(0)=2的特解

Answer 1

左边有个xy，右边有个x，感觉可以约分，所以不太确定你有没有把式子抄错。没有的话我就不管了，直接往下做
做变量分离，把x全部移到等式右侧，变成：
y'*y=1/(1-x²)
注意y'=dy/dx，把dx乘到等式右侧，得
ydy=1/(1-x²)dx
等式左边做积分显然等于y²/2+C1，C1为待定常数
而右边1/(1-x²)=1/2[1/(1-x)+1/(1+x)]，于是做积分等于1/2(ln|1+x|-ln|1-x|)+C2，C2也为待定常数
但是事实上，等式列出来就变成了y²/2+C1=1/2(ln|1+x|-ln|1-x|)+C2
所以考虑两个积分常数是多余的，直接写成y²/2=1/2(ln|1+x|-ln|1-x|)+C
还可以进一步写成y²=ln|1+x|-ln|1-x|+C。反正C是待定常数，给它乘个两倍还是待定的，所以仍然可以写作C
已知条件是x=0时y=2，代入后得C=4
所以待求特解为y²=ln|1+x|-ln|1-x|+4