Question

求助：一道高中导数题。特别是第二问。

已知曲线C：y=4ax3+x，过点Q（0，-1）作C的切线l，切点为P （1）求证：不论a怎样变化，点P总在一条定直线上 （2）若a＞0，过点P且与l垂直的直线与x轴的交于点T，求OT的最小值（O为坐标原点）

Answer 1

(1)y‘=12ax²+1
切点设为p(x0，4ax0³+x0)；
y0=4ax0³+x0
过此点的切线方程就是
y=(12ax0²+1)(x-x0)+4ax0³+x0=(12ax0²+1)x-8ax0³
由于过点(0，1)
带入得到
8ax0³=1
也就是2(y0-x0)=1
2y0-2x0-1=0
也就是不管a怎么变，p点肯定在直线2x-2y+1=0上面
(2)
上面已经讨论了y0=x0+1/2
垂直那么斜率就是-1/(12ax0²+1)
直线方程也就是y=-1/(12ax0²+1)(x-x0)+x0+1/2
令其=0得到
x=(12ax0²+1)×(x0+1/2)+x0
=12ax0³+6ax0²+2x0+1/2
8ax0³=1
上面=6ax0²+2x0+2
=3/(4x0)+2x0+2≥√6/2+2
此时x0=√6/4
y0=√6/4+1/2
a=2√6/9
所以最小值是√6/2+2