Question

函数极限证明题，急！

要求完整手写过程，谢谢！

Answer 1

不知道你看的书上对函数极限是怎么理解的，现在按我的理解证明一下：

f(x)当x→x0时极限存在

对任意数列 {a[n]}，lim a[n] = x0, 满足：
数列{f(a[n])}极限都存在并且相等

f(x)当x→x0左极限存在

对任意数列 {a[n]}，a[n] < x0，lim a[n] = x0, 满足：
数列{f(a[n])}极限都存在并且相等

f(x)当x→x0右极限存在

对任意数列 {a[n]}，a[n] > x0，lim a[n] = x0, 满足：
数列{f(a[n])}极限都存在并且相等

证明：

(i)
函数f(x)当x→x0时极限存在 => 左极限和右极限各自存在并且相等
显然（分别取小于x0和大于x0的数列就行了，他们的函数值极限都存在且相等）

(ii)
<=
任取一数列{a[n]}，满足lim a[n] = x0.
把{a[n]}中大于x0的项提取出来，若有无限项，则构成一子列，记为{b[n]}，
则有lim b[n] = x0，因为f(x)右极限存在，所以数列{f(b[n])}极限存且为定值；
把{a[n]}中小于x0的项提取出来，若有无限项，则构成一子列，记为{c[n]}，
则有lim c[n] = x0，因为f(x)左极限存在，所以数列{f(c[n])}极限存且为定值。
若上述只有一个为无限项，则f(a[n])的极限即为该子列的极限。
若两个都有无限项，则由“左极限和右极限相等”得lim f(b[n]) = lim f(c[n])，所以lim f(a[n])存在且 = lim f(b[n]) = lim f(c[n]).
所以f(a[n])的极限始终存在且为定值。
所以f(x)当x→x0时极限存在。

证完

写的不是很完整，差不多这个意思了。

Answer 2

lim(x->0) [(1+x)^(αx) -1 ]/(αx^2)
=lim(x->0) { 【(1+x)^(1/x)】^(αx^2) -1 }/(αx^2)
=lim(x->0) [ e^(αx^2) -1 ]/(αx^2)
=lim(x->0) αx^2 /(αx^2)
=1

追问

等价无穷小替换不能在加减时用吧

追答

等价无穷小替换不能在加减时用吧:视符情况

e.g
lim(x->0) (x-sin2x)/x
=lim(x->0) (x-2x)/x
=-1
这是可以的
最重要的是等价无穷小 是来自 泰勒公式，只要分母的阶数跟分子一样那就可以！换句话说忘记等价无穷小，用泰勒公式就可以!