Question

数学建模 的一道题 帮帮忙呀 万分的感谢！！

试题A： 一个雨天,你有件急事需要从家到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你不准备花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校.假设刚刚出发雨就大了，但你也不再打算回去．一路上，你将被雨淋湿．一个似乎是很简单的事实是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间．但是如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力快跑不一定是最好的策略．试组建数学模型来讨论如何在雨中行走才能减少淋雨的程度．

试题B： 冬天常会降大雪，路上堆满了雪，影响交通，需要用除雪机来清扫积雪．有一条10公里长的路，每当路面平均积雪0.5米时，就需要用除雪机清理路面．但问题是往往在开始除雪时天空仍在下雪．这样雪的深度慢慢增加，除雪机工作速度慢慢下降，直到无法工作．
下雪的大小影响除雪机的工作速度。那么除雪机能否完成这10公里长路程的除雪工作？当雪下得多大时除雪机就无法工作了？

Answer 1

试题A： 一个雨天,你有件急事需要从家到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你不准备花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校.假设刚刚出发雨就大了，但你也不再打算回去．一路上，你将被雨淋湿．一个似乎是很简单的事实是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间．但是如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力快跑不一定是最好的策略．试组建数学模型来讨论如何在雨中行走才能减少淋雨的程度．

试题B： 冬天常会降大雪，路上堆满了雪，影响交通，需要用除雪机来清扫积雪．有一条10公里长的路，每当路面平均积雪0.5米时，就需要用除雪机清理路面．但问题是往往在开始除雪时天空仍在下雪．这样雪的深度慢慢增加，除雪机工作速度慢慢下降，直到无法工作．
下雪的大小影响除雪机的工作速度。那么除雪机能否完成这10公里长路程的除雪工作？当雪下得多大时除雪机就无法工作了？
提问者： zhc5959 - 试用期 一级 回答 共 1 条

一、建模准备

建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最少。
主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度。

二、模型假设及符号说明

1、把人体视为长方体，身高h米，宽度w米，厚度d米。淋雨总量用C升来记。
2、降雨大小用降雨强度I厘米/时来描述， 降雨强度指单位时间平面上降下雨水的厚度。在这里可视其为一常量。
3、风速保持不变。
4、你以恒定的速度v米/秒跑完全程D米。

三、模型建立与计算

你在雨中行走的最大速度v=6米/秒，则计算得你在雨中行走了167秒，即2分47秒。从而可以计算被淋的雨水总量为C=2.041升。

经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47秒，但被淋了2升的雨水，大约有4酒瓶的水量。这是不可思议的。
表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。

原因是什么呢？

注：关于模型的检验，请大家观察、体会并验证。 雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重要性，模型的阶段适应性。

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除雪机模型
在我国的北方，冬天常会突降大雪。路上如堆满了雪，便要影响交通，需要用除雪机来清扫。现有一条10公里的长街，每当路面平均积雪0.5米时，就需除雪机清扫。在开始除雪时，往往天空仍在下雪。这样雪的厚度慢慢增加，除雪机工作的速度慢慢下降，以至无法工作了。
问除雪机能否完成这10公里长路程的除雪任务呢？
假设以下的几个条件是我们已知的：
（1）在除雪机开始扫雪后，总共下了一个小时的雪；
（2）下雪的速度是可变的，但下得最大时地面上雪的厚度增加量为每秒0.1厘米；
（3）当雪的厚度达到1.5米时，除雪机将无法工作；
（4）在没有雪的路面上除雪机的行驶速度为每秒10米。
分析 容易看出，雪下的大小直接影响除雪机的工作程度。为简单计，假定除雪机工作速度V的减少与积雪厚度 成正比。于是由假设条件（3）、（4）可得如下的公式：
设 ，当 时， ，又 ，所以 ，
故 ， 即 （4.1-1）
其中速度V的单位是米/秒，雪的厚度 的单位是米，且 。
由初始条件 米，可以马上求得除雪机开始清扫的速度 米。
下面我们根据假设除雪机开始时下雪速度是常量还是变量这两种情况来分别建立模型。
模型I
假设下雪速度保持不变，记做 （厘米/秒）。到 秒末雪的厚度就要增加 厘米= 米。于是 秒末雪的厚度变成
（米） （4.1-2）
由（4.1-1）、（4.1-2）可得 （4.1-3）
这时除雪机行驶的距离S为

= （4.1-4）
当V=0时意味着除雪机停止工作，由（4.1-3）可求得
（4.1-5）
现在，让我们把一些具体的下雪速度代入模型，看一看除雪机的工作情况。
情形A
假设以每秒0.1厘米的速度（即 厘米/秒）持续下了一个小时的大雪，则用（4.1-5）式可以算出，除雪机在清扫了16分40秒（ 秒=16分40秒）后被迫停止了工作。再由（4.1-40式可以知道，此时除雪机已行驶了3.33公里（
米 公里），即除雪机在停止扫雪前已沿街道行了三分之一的路程，但没有完成整条大街（10公里）的扫雪任务。
情形B
假设下的一场小雪，速度仅是 厘米/秒，则用与情形A相同的公式可以算出，除雪机在经过了1小时6分40秒后会停下来，此时除雪机运行的距离应为13.33公里，这比要求除雪的10公里还要长！除雪机早已完成了任务。事实上，实际除雪的时间为33分20秒（将S=10×1000米， 代入（4.1-4）式求得），在清除完10公里长的积雪后，除雪机的速度变为3.33米/秒（将有关数据代入（4.1-3）式算得）。
模型Ⅱ
假设下雪速度不是常量，它在前30分钟稳步增加到最大值0.1厘米/秒，然后在后30分钟逐渐减少到0，如图4-1所示。
用 表示下雪速度，则

这里 的单位是厘米/秒。
对 积分，可以得到雪的厚度，即
当 分时，有
（米） （4.1-7）
特别地，当 分时，由上式容易算出雪的厚度为1.4米（计算时，将 分化为 秒）。

当 分时，
（4.1-8）
特别地，当T=60分时，由（4.1-8）式求得 米，说明一小时之后雪的厚度将达到2.3米深。
再返回（4.1-1）式，可以求得除雪机的工作速度为
（4.1-9）
对 积分，可得除雪机行驶的路程，即
（4.1-10）
令 ，得S=8400米。这说明，30分钟后，除雪机已经前进了8.4公里，此时雪的厚度为1.4米。所以除雪机继续进行，但不能进行很久了（因为1.5米深的雪将使除雪机停止前进）。
将V=0代入（4.1-9）中的第二式，有
（4.1-11）
解得 秒，也就是说，再过103秒除雪机将停止工作，此时除雪机又向前推进了34米（将 代入（4.1-10）中的第二式再减去8400得到）。而方程（4.1-11）的另一根 秒舍去）。