Question

已知函数f（x）=x3+x（-2＜x＜2），则不等式f（a）+f（a2-2）＜0...

已知函数f（x）=x3+x（-2＜x＜2），则不等式f（a）+f（a2-2）＜0的解集为_____．

Answer 1

（-2，0）∪（0，1）
先根据导数判断出函数f（x）在（-2，2）上是增函数，接着利用函数奇偶性的定义判断出函数是奇函数，进而利用函数的单调性与奇偶性结合解不等式的方法解出参数的范围．
因为函数f（x）=x3+x，所以f′（x）=3x2+1q且f′（x）＞0在（-2，2）上恒成立．
所以f（x）在（-2，2）上是增函数．
因为函数f（x）=x3+x（-2＜x＜2），
所以函数的定义域关于原点对称且f（-x）=-（x3+x）=-f（x）
所以函数f（x）是定义域内的奇函数．
又因为不等式f（a）+f（a2-2）＜0成立
所以f（a）＜f（2-a2）
即-2＜a＜2，-2＜2-a2＜2且a＜2-a2
解得-2＜a＜0或0＜a＜1
所以不等式f（a）+f（a2-2）＜0的解集为（-2，0）∪（0，1）．
故答案为（-2，0）∪（0，1）．