Question

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线...

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线y=-3x+3在点（ 1，0 ） 处相切， （1）求a，b，c的值． （2）若关于x的方程f（x）=m有三个不同实根，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，
∵函数f（x）在x=-2时取得极值，∴f′（-2）=0，即12-4a+b=0①，
∵函数图象与直线y=-3x+3切于点P（1，0）．
∴f′（1）=-3，f（1）=0，即
3+2a+b=-3②，1+a+b+c=0③，
由①②③解得a=1，b=-8，c=6；
（2）由（1）知，f（x）=x3+x2-8x+6，f′（x）=3x2+2x-8=（3x-4）（x+2），
由f′（x）＞0得，x＜-2或x＞
4
3
，由f′（x）＜0得，-2＜x＜
4
3
，
所以f（x）在（-∞，-2）和（
4
3
，+∞）上递增，在（-2，
4
3
）上递减，
所以当x=-2时f（x）取得极大值f（-2）=18，当x=
4
3
时f（x）取得极小值f（
4
3
）=-
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，
因为关于x的方程f（x）=m有三个不同实根，所以函数y=f（x）和y=m图象有三个交点，
所以-
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＜m＜18，即为m的取值范围．