Question

高等数学反常积分绝对收敛条件收敛发散？

Answer 1

分享一种解法。∵x→∞时，1/x→0，∴cos(1/x^p)~1-(1/2)/x^(2p)，sin(1/x^p)~1/x^p。
∴ln[cos(1/x^p)+sin(1/x^p)]~ln[1-(1/2)/x^(2p)+1/x^p]~1/x^p-(1/2)/x^(2p)。
∴∫(1,∞)ln[cos(1/x^p)+sin(1/x^p)]dx与∫(1,∞)[1/x^p-(1/2)/x^(2p)]dx有相同的敛散性。
当p=1时，∫(1,∞)[1/x^p-(1/2)/x^(2p)]dx=-1/2+lim(x→∞)lnx →∞，发散。
当p≠1时，∫(1,∞)[1/x^p-(1/2)/x^(2p)]dx={[1/(1-p)]x^(1-p)-[(1/2)/(1-2p)]x^(1-2p)}丨(x=1,∞)。显然，p>1时，积分收敛；p<1时，积分发散。
且，p>1时，∫(1,∞)丨1/x^p-(1/2)/x^(2p)丨dx=∫(1,∞)[1/x^p-(1/2)/x^(2p)]dx，收敛。
∴综上所述，0≤p≤1时，∫(1,∞)ln[cos(1/x^p)+sin(1/x^p)]dx发散；p>1时，∫(1,∞)ln[cos(1/x^p)+sin(1/x^p)]dx收敛，且绝对收敛。
供参考。