Question

为什么矩阵A可由矩阵B线性表示,那么r(A)就小于等于r(B) ？

Answer 1

同理于乘积的秩不大于因子的秩。秩也就是极大无关组的个数，它可能减少不可能增多，因此得证！

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

Answer 2

和R（AB）＜R（A）或R（B）原理相似，两矩阵乘积的秩小于两者中最小的秩