Question

矩阵是否可以进行行初等变换之后再次进行列初等变换？

Answer 1

矩阵的初等变换能否同时进行行变换和列变换要视情况而定。

1、行列变换都可以用的情况：求矩阵的等价标准形，求矩阵的秩。

2、只能用行变换的情况：

求梯矩阵：行简化梯矩阵，求逆，AX=B矩阵方程。

如果是解方程组Ax=b，那么两种变换都可以用，但不是无条件的。比如行变换就要同时作用于系数矩阵和右端项，列变换则需要保留信息以便最后求解的时候用。

完全按矩阵乘法来写就是说把A变换成C=L*A*R，让C的形式比较简单，然后解出x=R*C^{-1}*L*b，L*b相当于对A作用行变换L的时候在b上也要作用L（可以理解成L的具体形式不需要保留），然后解方程Cy=Lb得到y，最后x=Ry就要把列变换都还原回去，所以不要在做列变换的时候把R的信息随意扔掉。

其他性质：

线性变换，转置。矩阵是线性变换的便利表达法，皆因矩阵乘法与及线性变换的合成有以下的连系：以 Rn 表示 n×1 矩阵（即长度为n的矢量）。对每个线性变换 f : Rn -> Rm 都存在唯一 m×n 矩阵 A 使得 f(x) = Ax 对所有 x ∈ Rn。 这矩阵 A "代表了" 线性变换 f。 今另有 k×m 矩阵 B 代表线性变换 g : Rm -> Rk，则矩阵积 BA 代表了线性变换 g o f。

矩阵 A 代表的线性代数的映像的维数称为 A 的矩阵秩。矩阵秩亦是 A 的行（或列）生成空间的维数。m×n矩阵 A 的转置是由行列交换角式生成的 n×m 矩阵 Atr （亦纪作 AT 或 tA），即 Atr[i, j] = A[j, i] 对所有 i and j。若 A 代表某一线性变换则 Atr 表示其对偶算子。

转置有以下特性：(A + B)tr = Atr + Btr，(AB)tr = BtrAtr。注记矩阵可看成二阶张量， 因此张量可以认为是矩阵和向量的一种自然推广。