Question

矩阵的秩有哪些常用结论?

Answer 1

1、两个矩阵A,B，如果满足rank(AB-BA)≤1，那么他们可以同时上三角化，这对应到线性变换就是指A,B有公共特征向量。

2、如果矩阵A不可逆，满足rank(A)=rank(A²)，那么A的属于特征值0的初等因子只能是1次的这个证明不难，就不提示了。

3、以及如果矩阵A，满足rank(A)=r，则有相抵标准型，A=PDQ，其中D=diag{I_r,O}。

4、设A是mxn的矩阵，则r（A）≤min（m，n），若一个矩阵的秩为0，那么这个矩阵一定是0矩阵，反过来亦然。

5、r（A）＝r（A′）＝r（AA′）=r（A′A）。A表示任意矩阵，也就是m行n列，最简单的就是向量。A′表示A的转置。这是一个很好用的结论。这个结论的证明。

介绍

矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数，通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。 

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。