Question

我解一个微分方程，结果得出常数方程。到底哪一步错了？

初值:f(0)＝0，f'(0)=0
可以写下解题过程吗，求出y的方程

Answer 1

如图所示：

这里左边对p的积分时，注意p是自变量

左边对p计算，右边对x计算，两边的积分变量是不同的

Mathematica给出的结果是

Answer 2

应为 ∫pdp = p^2/2

Answer 3

倒数第四行向第三行转化时错误，
∫pdp=1/2p^2+c，不是y
应该是
1/2p^2+c=1/(1-y)
然后用dy/dx换p,继续积分！

追问

p是y的导数，p积分不就是y吗

追答

😂不是，你现在已经把y对x的导数转化成一个新的变量p了，所以它的，应该是关于p的多项式

我们是分离变量了，两边各自管各自的变量！

追问

那这个在怎么算呢

追答

你假设完了p=dy/dx后，p就是一个新的变量。它的积分就是围绕这个新变量p来了。不再是x,y什么的了。

追问

我懂了。但是下一步不会了

追答

比较复杂！先开方，得到±两个值，然后继续使用分离变量，因为右边全是y,没有x。

理论上，这种题需要给定初值，然后就可以确定常数值，以及开方得到的符号。否则会很复杂

因为有2个常量，又不能确定符号，所以，讨论起来没玩没了，必须给定初值。

追问

f(0)＝0，f'(0)=0
可以写下解题过程吗，求出y的方程

追答

这就可以了，带入得
上图的c=-1,
然后
dy/dx=±√(y/(1-y))
分离变量
∫±√(1/y-1)dy=∫dx

继续就行

不太好积分，你这个初值是自己编的还是题目给的。要是f'(0)=√2就好积分了

追问

c=-1怎么得到的，你发了图片吗我没收到

题目给的

追答

你直接带那个
f(0)＝0，f'(0)=0
x=0,那么y=0
带入你上面求出的方程
1/2*0=1/(1-0)+c
所以，c=-1

一般给的初值都会让你第二次积分比较简单。好积分。不然就太复杂了，甚至积分不出来

追问

积不出来

追答

这就可以了，带入得
上图的c=-1,
然后
dy/dx=±√(2y/(1-y))
分离变量
∫±√((1-y)/2y)dy=∫dx
令√((1-y)/2y)=1/t，看能不能继续。手打比较麻烦。有时间我再往下计算一下

别带里面的，整体令√y/(y-1)=t

y=1/(t^2+1),
dy=-2t/(t^2+1)^2,
右边为∫-√2t^2/(1+t^2)^2dt
再令t=tanz
=∫-√2(tanz)^2/(secz)^4*(secz)^2dt
=∫-√2(sinz)^2/dz
=-√2/2∫(1-cos2z)dz

你再看看能不能解出来

不知道有没有代换错误的的。