Question

求此电磁场的一个问题

题目告诉了面密度，应该可以求出电位来，再通过电位求出场强来。但是不知道怎么求电位。可以直接用A点求大小直接计算场强吗？

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Answer 1

这个用高斯定理直接可以求电场。
根据电荷分布的对称性可知，空间中任意一点的电场必然垂直于xy平面，且距离xy平面的等距离的两侧的电场大小相等，方向相反。因此过A点和对称的A'点做一个底面积为ds的长方形高斯面，根据高斯定理有：
2Eds=σds/ε0，两边消去ds之后，得到电场强度：E=σ/2ε0。

Answer 2

如果你学过微积分的话，你就可以直接使用二重积分进行计算。
假设在 A 处放置一个点电荷，它的电量为 q。在以坐标原点为圆心，半径 为 r，宽度为 dr 的圆环上，则它的电荷量为 dQ = σ * rdrdθ。dQ 对点电荷 q 的作用力在 Z 轴方向上的分力 dF = ε0 * K * q * dQ * a/[(a²+r²) ^(3/2)]
那么：
F = ∫dF = ε0 * K * q * a * ∫σ * r/[(a²+r²)^(3/2)] * drdθ
= ε0 * K * q * a * σ * 1/2 * ∫d(a²+r²)/[(a²+r²)^(3/2)] * ∫dθ
= ε0 * K * q * a * σ * 1/2 * (-2) * [1/√(a²+r²)|r=0→∞] * [θ|θ=0→2π]
= ε0 * K * q * a * σ * (-1) * [0 - 1/a] * (2π)
= ε0 * K * q * σ * (2π)
所以：
E = F/q = 2π * ε0 * K * σ

我不知道题中所说的诱电率 ε0 是什么单位，我把理解成了我们当年所学的介电系数（无单位）。
但不论它是什么，从结论中可以看出，E 是一个匀强电场，与距平面 xy 的距离无关，方向平行于 Z 轴。