Question

齐次方程的通解是什么？

Answer 1

令u＝y/x，则y＝xu，y'＝u＋xu'。方程化为： 

u＋xu'＝(u－1)/(4u＋1)。

分离变量，得：(4u＋1)/(1＋4u^2)du＝－dx。

两边积分，得：1/2×ln(1＋4u^2)＋1/2×arctan(2u)＝－x＋1/2×C。 

即 ln(1＋4u^2)＋arctan(2u)＋2x＝C。 

带入u＝y/x，得原方程的通解： 

ln(1＋4y^2/x^2)＋arctan(2y/x)＋2x＝C。

应用

"齐次"从词面上解释是"次数相等"的意思。

微分方程中有两个地方用到"齐次"的叫法：

1、形如y'=f(y/x)的方程称为"齐次方程"，这里是指方程中每一项关于x、y的次数都是相等的，例如x^2,xy,y^2都算是二次项，而y/x算0次项，方程y'=1+y/x中每一项都是0次项，所以是"齐次方程"。

2、形如y''+py'+qy=0(其中p和q为关于x的函数)的方程称为"齐次线性方程"，这里"线性"是指方程中每一项关于未知函数y及其导数y',y'',……的次数都是相等的(都是一次)，"齐次"是指方程中没有自由项(不包含y及其导数的项)，方程y''+py'+qy=x就不是"齐次"的，因为方程右边的项x不含y及y的导数，因而就要称为"非齐次线性方程"。

另外在线性代数里也有"齐次"的叫法，例如f=ax+bxy+cy^2称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f中每一项都是关于x、y的二次项。