Question

不定积分求体积

大佬们帮下忙

Answer 1

(1). 求由曲线 y=x²-4，y=0 绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
解：体积V=2π∫<0,2>y²dx=2π∫<0,2>(x²-4)²dx=2π∫<0,2>(x^4-8x²+16)dx
=2π[(1/5)x^5-(8/3)x³+16x]<0,2>=2π[(32/5)-(64/3)+32]=(512/15)π;
(2).求由曲线 x²+y²=2, (y≧0), y=x²所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
解：先求园与抛物线的交点的坐标：将抛物线方程y=x代入园的方程得：y+y²=2，即有
y²+y-2=(y+2)(y-1)=0，故得y₁=1；y₂=-2(舍去)；再由x²=1，得x=±1；
即交点坐标为(-1，1)和(1，1)；
所围旋转体的体积V=2π∫<0,1>[(2-x²)-x^4]dx=2π[2x-(1/3)x³-(1/5)x^5]<0,1>
=2π[2-(1/3)-(1/5)]=(44/15)π;