Question

求助一道定积分题，有图

Answer 1

可以先积分，再再求和
原式=∑∫(0,1)x^nlnxdx
分部积分，
=∑∫(0,1)1/(n+1)lnxd x^(n+1)
=[1/(n+1)*x^(n+1)*lnx(0,1)
-∫(0,1)1/(n+1)*x^ndx
=-lim (x趋向0) 1/(n+1)*x^(n+1)*lnx
+∑1/(n+1)^2
对于
lim (x趋向0) x^(n+1)*lnx
利用洛必达，
lim (x趋向0) lnx/[x^(-n-1)] =0
所以，原积分=∑1/(n+1)^2=π^2/6-1

追问

答案好像少个负号

追答

是的，手打漏了。
=-lim (x趋向0) 1/(n+1)*x^(n+1)*lnx
-∑1/(n+1)^2
对于
lim (x趋向0) x^(n+1)*lnx
利用洛必达，
lim (x趋向0) lnx/[x^(-n-1)] =0
所以，原积分=∑1/(n+1)^2=-π^2/6+1